慬瑜的筆記

一般的測度 $\mu$ 定義在 $\sigma-algebra$ $\mathcal{A}$，映射到$[0,\infty]$   $\mu:\mathcal{A} \rightarrow [0,\infty]$ 為$A \mapsto \mu(A)$ 滿足   (i) 空集合的測度為零 $\mu(\phi)=0$   (ii) 測度一定是非負 $\mu(A) \geq 0$, $\forall A \in \mathcal{A}$   (iii) 對於兩兩互斥的$A_n,n=1,2,...$，則有$\mu(\cup^\infty_{n=1}A_n) = \sum^\infty_{n=1}\mu(A_n)$ ，此性質稱為"可數可加性"，是對於建立"測度的連續性"的重要角色。   *註： (iii)其實是一個很合理的條件， 我們會期望在計算"抽象長度"的時候他是可以分開計算再加起來的。 我們從小就聽過"機率的總和要是一" ，這件事是在說明機率空間 $(\Omega,\mathcal{A},P)$ 是一個有限的測度空間，而且他的總測度為一 ，也就是 $P(\Omega)=1$，所以機率作為一個測度也滿足上述的性質（i)~(iii)並且多了一條 $P(\Omega)=1$，那這個條件很自然的隱含了$0 \leq P(A) \leq 1$。   關於$P$ 的定義域 $\mathcal{A}$ ，可以想像，在做試驗以前，需要先界定每個事件發生的可能性，也就是對於每個$A \in \mathcal{A}$ 都要定出機率值，所以 $P$ 的定義域是事件空間 $\mathcal{A}$ 。換句話說，事件空間決定了整個模型的尺度。 那實際上要如何在 $\mathcal{A}$ 上定義機率(或一般測度)呢 ?   以樣本空間 $\Omega$ 大小作為分類，有不同的做法   1. 如果 $\Omega$是至多可數無窮(包括有限的情況)的話，$\mathcal{A}$ 選作 $2^\Omega$，我們只需要定義每一個單點集的機率，剩下的都可以用(iii)可數可加性去做計算:    對於所有 $\omega_n \...

接下來我們來討論一個很重要的特例-- $Borel$ $\sigma-algebra$。   當 $\Omega$ 選作 $\mathbb{R}$ 的時候，習慣上會搭配 $Borel$ $\sigma-algebra$，作為一個待測空間 $(\mathbb{R},\mathcal{B})$   $Borel$ $\sigma-algebra$ 是由 " 收集 $\mathbb{R}$ 上開區間的collection of set "   $\mathcal{O}:=\{open \ interval\ in\ \mathbb{R}\}$ 生成出來的。   簡寫為 $\mathcal{B(\mathbb{R})} \ or \   \mathcal{B}$ 。    所以$\mathcal{B}=\sigma(\mathcal{O})$ 。  $Borel \ set$ 就是所謂 $Borel$ $\sigma-algebra$ 裡的元素。 $B \in \mathcal{B}$其中的 $B$就是 $Borel \ set$。   * 註: $\mathcal{B}$ 是collection of set，裡面的元素 $B$ 是一個集合 等價地，$Borel$ $\sigma-algebra$ 也可以用 $\mathcal{I}:=\{(-\infty,x]:x\in \mathbb{R}\}$生成 (這是可以證明的)，$\mathcal{B}=\sigma(\mathcal{I})$。從這個角度來看，利用$\sigma-algebra$的 "可屬集合運算封閉" 的性質，我們可以實際的看看到底有甚麼東西落在 $\mathcal{B}$ 裡     *  $(x,\infty)=(-\infty,x]^c \in \sigma(\mathcal{I})$    #$(x,\infty)$可以表為$(-\infty,x]$的補集，所以在$\sigma(\mathcal{I})$裡面 *  $(-\infty,x)=\cup^\infty_{n=1}(-\in...

上次簡單說明了一個隨機試驗$(\Omega,\mathcal{A},P)$是一個機率空間，這次來說明一些關於$\sigma-algebra$的想法。 通常討論的 $\Omega$ 是一個集合，可能是 $\mathbb{R}$、$\mathbb{R^n}$ 、賦距空間(metric space)，或是上次說的樣本空間，甚至是沒有任何數學結構的集合，所以對於 $\Omega$ 能討論的事情就不太多，基本上我們討論$\Omega$的子集。   收集 $\Omega$ 所有子集的集合(collection of subsets)，稱為$\Omega$的冪集合(power set)，記做 $2^\Omega$。 如果 $\Omega$ 有k個元素 $n(\Omega)=k$，那他的冪集合就有 $2^k$ 個元素 $n(2^\Omega)=2^k$ (對於每個 $\Omega$ 的元素考慮"選與不選"進子集裡)。   有時候當 $\Omega$ 很大的時候，$2^\Omega$會變得非常非常大，以至於無法討論一些事(無法定義測度)，所以我們要去限制$2^\Omega$ ，討論較小的collection。 也就是上次提到的 $\sigma-algebra$ $\mathcal{A}$。 滿足   (i) $\phi \in \mathcal{A}$    (ii) $A \in \mathcal{A}$，則$A^c \in \mathcal{A}$     (iii) $\{A_n\},n=1,2,... \in \mathcal{A}$，則$\cup^\infty_{n=1}A_n \in \mathcal{A}$        *註: (ii)跟(iii)可以推得 $\sigma-algebra$ 在"可數"多次的集合操作(交集、聯集、差集......)後，都是封閉的。封閉的意思是，經過操作之後的東西，依然在這個 $\sigma-algebra$ 裡。 具體來說，如果$A$是$\Omega$的子集 $A \subset \Omega$，那$\mathcal{A_1}=\{\phi,A,A^c,\Omega\}$是一個$\...