接下來我們來討論一個很重要的特例-- $Borel$ $\sigma-algebra$。
當 $\Omega$ 選作 $\mathbb{R}$ 的時候，習慣上會搭配 $Borel$ $\sigma-algebra$，作為一個待測空間 $(\mathbb{R},\mathcal{B})$
$Borel$ $\sigma-algebra$ 是由 " 收集 $\mathbb{R}$ 上開區間的collection of set " $\mathcal{O}:=\{open \ interval\ in\ \mathbb{R}\}$ 生成出來的。
簡寫為 $\mathcal{B(\mathbb{R})} \ or \ \mathcal{B}$ 。
所以$\mathcal{B}=\sigma(\mathcal{O})$ 。
$Borel \ set$ 就是所謂 $Borel$ $\sigma-algebra$ 裡的元素。 $B \in \mathcal{B}$其中的 $B$就是 $Borel \ set$。
* 註: $\mathcal{B}$ 是collection of set，裡面的元素 $B$ 是一個集合
等價地，$Borel$ $\sigma-algebra$ 也可以用 $\mathcal{I}:=\{(-\infty,x]:x\in \mathbb{R}\}$生成 (這是可以證明的)，$\mathcal{B}=\sigma(\mathcal{I})$。從這個角度來看，利用$\sigma-algebra$的 "可屬集合運算封閉" 的性質，我們可以實際的看看到底有甚麼東西落在 $\mathcal{B}$ 裡
* $(x,\infty)=(-\infty,x]^c \in \sigma(\mathcal{I})$ #$(x,\infty)$可以表為$(-\infty,x]$的補集，所以在$\sigma(\mathcal{I})$裡面
* $(-\infty,x)=\cup^\infty_{n=1}(-\infty,x-\frac{1}{n}] \in \sigma(\mathcal{I})$
* $[x,\infty)=(-\infty,x)^c\in \sigma(\mathcal{I})$
則所有的 "半線" 都在 $\mathcal{B}$ 裡
* $(a,b]=(-\infty,b]\backslash(-\infty,a]\in \sigma(\mathcal{I})$
* $\{a\}=(-\infty,a]\backslash(-\infty,a)\in \sigma(\mathcal{I})$
* $(a,b)=(a,b]\backslash\{b\}\in \sigma(\mathcal{I})$
* $[a,b]=\{a\}\cup(a,b)\in \sigma(\mathcal{I})$
則所有的 "區間" 跟"單點" 都在 $\mathcal{B}$ 裡
* 單點的可數聯集 $\in \sigma(\mathcal{I})$
* 任意的開集合(open set)與閉集合(closed set) $\in \sigma(\mathcal{I})$
簡單證明一下最後一點:
假設 $A$ 是一個在 $\mathbb{R}$ 的開集合，則用開集合的定義，我們知道對於 $A$ 裡的每一個點 $x$，$x \in A$，都能找到一個開區間蓋住 $x$，整個開區間都在 $A$ 裡面， $\exists (a_x,b_x)\subset A \quad s.t. \ x\in (a_x,b_x)$。
再利用 $\mathbb{Q}$ 在 $\mathbb{R}$ 上稠密的性質，對於剛剛的$(a_x,b_x)$，可以再找到一個更小的有理數區間，也蓋住$x$，$\exists (a'_x,b'_x)\subset (a_x,b_x) ,\ where \ a'_x,\ b'_x\in \mathbb{Q} \quad s.t. \ x\in (a'_x,b'_x)$
然後 $A=\cup_{x \in A}(a'_x,b'_x)$，這是一個 "可數" 的聯集，所以 $A \in \sigma(\mathcal{I})$
假設 $B$ 是閉集合，則 $B^c$ 是開集合，那 $B$ 可以表達為 $\mathbb{R} \backslash B^c \in \sigma(\mathcal{I})$
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