慬瑜的筆記

在109-2學年，我修習了素描創作，我自選的主題是粉筆，因為以前數學家在討論數學的時候都是用黑板跟粉筆討論，經過漫長的時間才寫出偉大的定理，所以我覺得那些定理 就像原本就蘊含在粉筆裡面一樣，所以我一開始就單純的在粉筆上雕刻 。 以前牛頓跟萊布尼茲幾乎同時提出了極限跟微積分的概念， 但是當時的表達不精確讓使用跟研究遇到了很大的困難 ，直到後來柯西提出了$\delta-\epsilon$ 的定義，統一了說法，給出了嚴謹的定義讓整個讓微積分學以至於分析學都有十足的進步。 所以我把柯西的頭(代表這些東西是從他腦子裡產生的)跟  for all  $\epsilon$ 刻在板子上 ，讓它可以投影到下面的模型。 投影出來的字，跟模型上的，以及刻在粉筆上的字，連起來才是完整的一句話--$\forall \epsilon >0, \exists \delta >0 \ s.t. $ 下面的模型主體是城市 ，裡面有代表化學的藥瓶 、醫學的藥丸，有電腦的資訊產業，代表金融財經的小豬撲滿，代表物理的運動學模型，會做這些是因為我想要表達: 現代的生活中所有的處處都是微積分，處處都需要當時柯西的貢獻 。

以前，當$X$是連續隨機變數的時候，$P$稱為$X$的機率密度函數(pdf); 當$X$是離散隨機變數的時候，$P$稱為$X$的機率質量函數(pmf)。考慮累積密度函數的話，連續時是積分；離散時是summation，乍看之下連續型隨機變數跟離散型的差別非常巨大，但是在Leb.積分底下，可以視為同一件事。 這裡先介紹在機率論中很重要的兩個測度：Lebesgue measure與 counting measure  在 $(\mathbb{R},\mathcal{B})$上的 Lebesgue measure 記為$m:\mathcal{B} \rightarrow [0,\infty)$ 定義成 $m((a,b])=b-a$，在一維空間上，Lebesgue measure就是算長度；在二維空間就是算面積；三維或更高的維度則是算體積。 Counting measure 叫做“計數測度“，顧名思義，這個測度就是在算 ”集合裡的元素個數“，在這裡把它記為$m_c$。舉個例子，如果 $(\Omega,\mathcal{A})$ 選作 $(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}})$ 對於所有 $n \in \mathbb{N}$ 定義 $\mu(\{n\})=1$ (也就是每一個單點集的測度都定為1)及 $\mu(\phi)=0$，這個 $\mu$ 就是在$(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}})$上的 Counting measure 重要的是 “對counting measure 的積分其實就是summation”   舉個例子：令 $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R^+} s.t. f(n)=a_n \geq 0$ 搭配$(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}},m_c)$   $\int fdm_c =\int \sum_{n=1}^\infty a_n I_{n} dm_c=\sum_{n=1}^\infty \int a_n I_{n} dm_c$$=\sum_{n=1}^\infty a_n m_c(\{n\})=\sum_{n=1}^\infty a_n$ 在機率論中利用 Radon-Nikodyn 定理，得到我們算的機率$P_X$就是$P$...

因為通常考慮的樣本空間 $\Omega$ 可能不是收集"數字"的集合，並不好操作，所以我們需要引進 "隨機變數" (random variable)這個概念，把一些事情從 $\Omega$ 轉到熟悉的 $\mathbb{R}$上。 給定一個機率空間 $(\Omega,\mathcal{A},P)$，隨機變數 是一個函數 $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ 滿足 $\forall B \in \mathcal{B},\quad X^{-1}(B):=\{\omega \in \Omega:X(\omega) \in B\} \in \mathcal{A}$。   直白地說，在 $\mathbb{R}$ 的事件，用 $X$ 的 preimage 拉回去，還需要是一個事件。在實變的語言裡 就是 "$X$ 是一個可測函數"。 *註:   $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ 則 $X$ 的preimage定義為 $X^{-1}:2^\mathbb{R} \rightarrow 2^\Omega \quad s.t. X^{-1}(B):=\{\omega \in \Omega:X(\omega) \in B\}$  #經由X作用後落在集合B   之前說過 $P$ 的定義域是在 $\mathcal{A}$ ，所以對於每一個在$\mathcal{A}$ 裡的事件，都會訂出機率值，也就是我們可以訂出每一個 $X^{-1}(B) \in \mathcal{A}$ 的機率: $P(X^{-1}(B))$ ，簡寫為$P(X \in B)$。 則 $P(X^{-1}(B))=P(\{\omega\in \Omega : X(\omega) \in B\})=P(X \in B), \ \forall B \in \mathcal{B}$ 現在我們透過 $X^{-1}$ 連結 $\mathcal{B}$ 與 $\mathcal{A}$，可以定義一個新的在 $\mathbb{R}$ 上的機率，$P_X:\mathcal{B} \rightarrow [0,1]$ 滿足 $P_X(B)=P(X^{-1}(B)),\ \forall B \in \mathcal{...

這是我最後一個期末成果的作品－－path connected ，原本 - path connected (路徑連通) 簡單來說，這個集合是路徑連通的，那麼集合裡面的任意兩點，都可以找到一個連續函數把他們連起來。 一開始的想法是跟前面一樣，主體的集合是一個扁平的盤子，再從表面做變化，後來想想覺得抽象的集合可以做成三維立體的形狀，路徑的話就是利用雕刻刀 刻畫出兩點之間的連續函數。最後表面質感的處理跟之前也不一樣，前面的作品表面都是用海綿平滑地塗抹化妝土，這次是用海綿沾上化妝土後以拍打的方式上色，會造成表面粗糙的效果。 兩個彩色的球球是代表集合中的任意點，中間的連續函數用刻出的凹槽表示。

在實變的理論中，發展出一個新形態的積分–—Lebesgue積分法是一件很重要的事，它能夠處理很多以前黎曼(Rieman)積分無法處理的狀況。 黎曼積分是對被積函數的定義域(通常是一個區間)做分割，分割的小區間當作底，乘上函數值的高，得到面積，去做近似(當然這是非常粗略的說法)。 還記得之前提的 $\Omega$ 空間，它沒有特定的數學結構，如果它作為函數的定義域 $f:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ ，以前黎曼積分的定義就完全不能使用，當 $\Omega$ 不是一個賦距空間(metric space)。但是反過來想，可以考慮對值域 $\mathbb{R}$ 做分割，接下來就會想要"測量"那些值域的小區間 preimage 的大小，這樣也是有類似"長乘寬"的概念。 以上是發展Lebesgue積分的想法，正式的定義還需要建構非常多先備的定義跟引理，這邊就不做介紹。 簡單來說，Lebesgue積分就是對定義空間 $\Omega$ 的 "測度"  $\mu$ 去做積分，記為 $\int_{\Omega}{f(\omega)}\mu(d\omega)$或$\int_{\Omega}{f}d\mu$。   Lebesgue積分在機率中之所以重要是因為，以往談的 "期望值" 其實都是屬於 Lebesgue積分的範疇。上面的被積函數就是隨機變數(random variable) $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ ，一個定義域在樣本空間 ($\Omega$) 映射到實數的函數。

一般的測度 $\mu$ 定義在 $\sigma-algebra$ $\mathcal{A}$，映射到$[0,\infty]$   $\mu:\mathcal{A} \rightarrow [0,\infty]$ 為$A \mapsto \mu(A)$ 滿足   (i) 空集合的測度為零 $\mu(\phi)=0$   (ii) 測度一定是非負 $\mu(A) \geq 0$, $\forall A \in \mathcal{A}$   (iii) 對於兩兩互斥的$A_n,n=1,2,...$，則有$\mu(\cup^\infty_{n=1}A_n) = \sum^\infty_{n=1}\mu(A_n)$ ，此性質稱為"可數可加性"，是對於建立"測度的連續性"的重要角色。   *註： (iii)其實是一個很合理的條件， 我們會期望在計算"抽象長度"的時候他是可以分開計算再加起來的。 我們從小就聽過"機率的總和要是一" ，這件事是在說明機率空間 $(\Omega,\mathcal{A},P)$ 是一個有限的測度空間，而且他的總測度為一 ，也就是 $P(\Omega)=1$，所以機率作為一個測度也滿足上述的性質（i)~(iii)並且多了一條 $P(\Omega)=1$，那這個條件很自然的隱含了$0 \leq P(A) \leq 1$。   關於$P$ 的定義域 $\mathcal{A}$ ，可以想像，在做試驗以前，需要先界定每個事件發生的可能性，也就是對於每個$A \in \mathcal{A}$ 都要定出機率值，所以 $P$ 的定義域是事件空間 $\mathcal{A}$ 。換句話說，事件空間決定了整個模型的尺度。 那實際上要如何在 $\mathcal{A}$ 上定義機率(或一般測度)呢 ?   以樣本空間 $\Omega$ 大小作為分類，有不同的做法   1. 如果 $\Omega$是至多可數無窮(包括有限的情況)的話，$\mathcal{A}$ 選作 $2^\Omega$，我們只需要定義每一個單點集的機率，剩下的都可以用(iii)可數可加性去做計算:    對於所有 $\omega_n \...