📘 [機率]08- 事件的極限

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  想要定義事件列(sequence of events)的極限，我們先從比較簡單的狀況下手，先考慮那些具有單調性(monotone)的事件列。   - 如果事件列$(A_n) \in \mathcal{A}$ 是遞增的，也就是 $A_1 \subseteq A_2  \subseteq ...$，則可以定義 $A_n$ 的極限事件為 $A_n$ 的聯集:  $lim_{n\rightarrow \infty}A_n:= \cup_{n=1}^{\infty}{A_n}$   [pic1]   看了示意圖應該會覺得這樣定義非常合情合理吧!   越來越大的 $A_n$ 就是把他們一個一個聯集起來(也會越來越大) 。  - 如果事件列 $(A_n) \in \mathcal{A}$ 反過來是遞減的，也就是 $A_1 \supseteq A_2  \supseteq ...$，則可以定義 $A_n$ 的極限事件為 $A_n$ 的交集:  $lim_{n\rightarrow \infty}A_n:= \cap_{n=1}^{\infty}{A_n}$   [pic2]   那現在會很自然的好奇，如果 $(A_n)$ 沒有那麼好的性質應該要怎麼辦呢?   跟在討論數列的極限時類似，這裡也退而求其次，引進 $limsup$ 與 $liminf$ 的定義。 - $limsupA_n := \cap_{m=1}^{\infty} \cup_{n=m}^{\infty}{A_n}$   值得注意的是後半部聯集的地方 $\cup_{n=m}^{\infty}{A_n}$ 其實是一個遞減的集合列，把 $\cup_{n=m}^{\infty}{A_n}$ 叫做 $B_m$ ，可以看到隨著 $m$ 越來越大，參與聯集的 $A_n$ 就會變少， $B_m$ 自然就會變小。 如此一來， $limsupA_n = \cap_{m=1}^{\infty} B_m=lim_{m \rightarrow \infty}B_m$ ，因為 $B_m$ 是遞減，就可以用最上方極限的定義。...
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📘[機率]05- Lebesgue積分

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在實變的理論中，發展出一個新形態的積分–—Lebesgue積分法是一件很重要的事，它能夠處理很多以前黎曼(Rieman)積分無法處理的狀況。


黎曼積分是對被積函數的定義域(通常是一個區間)做分割，分割的小區間當作底，乘上函數值的高，得到面積，去做近似(當然這是非常粗略的說法)。

還記得之前提的 $\Omega$ 空間，它沒有特定的數學結構，如果它作為函數的定義域 $f:\Omega \rightarrow \mathbb{R}$ ，以前黎曼積分的定義就完全不能使用，當 $\Omega$ 不是一個賦距空間(metric space)。但是反過來想，可以考慮對值域 $\mathbb{R}$ 做分割，接下來就會想要"測量"那些值域的小區間 preimage 的大小，這樣也是有類似"長乘寬"的概念。


以上是發展Lebesgue積分的想法，正式的定義還需要建構非常多先備的定義跟引理，這邊就不做介紹。

簡單來說，Lebesgue積分就是對定義空間 $\Omega$ 的 "測度"  $\mu$ 去做積分，記為 $\int_{\Omega}{f(\omega)}\mu(d\omega)$或$\int_{\Omega}{f}d\mu$。  



Lebesgue積分在機率中之所以重要是因為，以往談的 "期望值" 其實都是屬於 Lebesgue積分的範疇。上面的被積函數就是隨機變數(random variable) $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ ，一個定義域在樣本空間 ($\Omega$) 映射到實數的函數。


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🎨[陶藝]02-內點

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延續上次的文章，這個也是我期末的系列之一 - interior point(內點）  如果說一個點是這個集合的內點，那以內點為圓心一定要存在一個半徑，形成一個圓，讓整個圓都在集合裡面。 反過來想，在紙上畫一個圓當做集合，圓邊上的點就不是一個內點，因為不管你的半徑取得多小，都會讓一部分的圈落在大圓的外面。 中間的黑球是極限點，黃色的部分是“整個落在集合裡的圓”，這裡是不是用土條圍成半徑，取而代之我是挖一個類似半球的凹槽，感覺更有在“集合裡”的意象。 還有白色圓盤的邊緣特別做了削薄，因為跟內點連結的概念是“開集合”（如果集合裡的點全部都是內點，它就是開集合），所以說開集合一定沒有邊界點，把邊緣削薄就是想體現它沒有邊界的事實。
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📘 [機率]08- 事件的極限

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  想要定義事件列(sequence of events)的極限，我們先從比較簡單的狀況下手，先考慮那些具有單調性(monotone)的事件列。   - 如果事件列$(A_n) \in \mathcal{A}$ 是遞增的，也就是 $A_1 \subseteq A_2  \subseteq ...$，則可以定義 $A_n$ 的極限事件為 $A_n$ 的聯集:  $lim_{n\rightarrow \infty}A_n:= \cup_{n=1}^{\infty}{A_n}$   [pic1]   看了示意圖應該會覺得這樣定義非常合情合理吧!   越來越大的 $A_n$ 就是把他們一個一個聯集起來(也會越來越大) 。  - 如果事件列 $(A_n) \in \mathcal{A}$ 反過來是遞減的，也就是 $A_1 \supseteq A_2  \supseteq ...$，則可以定義 $A_n$ 的極限事件為 $A_n$ 的交集:  $lim_{n\rightarrow \infty}A_n:= \cap_{n=1}^{\infty}{A_n}$   [pic2]   那現在會很自然的好奇，如果 $(A_n)$ 沒有那麼好的性質應該要怎麼辦呢?   跟在討論數列的極限時類似，這裡也退而求其次，引進 $limsup$ 與 $liminf$ 的定義。 - $limsupA_n := \cap_{m=1}^{\infty} \cup_{n=m}^{\infty}{A_n}$   值得注意的是後半部聯集的地方 $\cup_{n=m}^{\infty}{A_n}$ 其實是一個遞減的集合列，把 $\cup_{n=m}^{\infty}{A_n}$ 叫做 $B_m$ ，可以看到隨著 $m$ 越來越大，參與聯集的 $A_n$ 就會變少， $B_m$ 自然就會變小。 如此一來， $limsupA_n = \cap_{m=1}^{\infty} B_m=lim_{m \rightarrow \infty}B_m$ ，因為 $B_m$ 是遞減，就可以用最上方極限的定義。...
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📘[機率]07- Lebesgue measure與 counting measure

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以前，當$X$是連續隨機變數的時候，$P$稱為$X$的機率密度函數(pdf); 當$X$是離散隨機變數的時候，$P$稱為$X$的機率質量函數(pmf)。考慮累積密度函數的話，連續時是積分；離散時是summation，乍看之下連續型隨機變數跟離散型的差別非常巨大，但是在Leb.積分底下，可以視為同一件事。 這裡先介紹在機率論中很重要的兩個測度：Lebesgue measure與 counting measure  在 $(\mathbb{R},\mathcal{B})$上的 Lebesgue measure 記為$m:\mathcal{B} \rightarrow [0,\infty)$ 定義成 $m((a,b])=b-a$，在一維空間上，Lebesgue measure就是算長度；在二維空間就是算面積；三維或更高的維度則是算體積。 Counting measure 叫做“計數測度“，顧名思義，這個測度就是在算 ”集合裡的元素個數“，在這裡把它記為$m_c$。舉個例子，如果 $(\Omega,\mathcal{A})$ 選作 $(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}})$ 對於所有 $n \in \mathbb{N}$ 定義 $\mu(\{n\})=1$ (也就是每一個單點集的測度都定為1)及 $\mu(\phi)=0$，這個 $\mu$ 就是在$(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}})$上的 Counting measure 重要的是 “對counting measure 的積分其實就是summation”   舉個例子：令 $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R^+} s.t. f(n)=a_n \geq 0$ 搭配$(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}},m_c)$   $\int fdm_c =\int \sum_{n=1}^\infty a_n I_{n} dm_c=\sum_{n=1}^\infty \int a_n I_{n} dm_c$$=\sum_{n=1}^\infty a_n m_c(\{n\})=\sum_{n=1}^\infty a_n$ 在機率論中利用 Radon-Nikodyn 定理，得到我們算的機率$P_X$就是$P$...
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