📘[機率]07- Lebesgue measure與 counting measure

以前，當$X$是連續隨機變數的時候，$P$稱為$X$的機率密度函數(pdf); 當$X$是離散隨機變數的時候，$P$稱為$X$的機率質量函數(pmf)。考慮累積密度函數的話，連續時是積分；離散時是summation，乍看之下連續型隨機變數跟離散型的差別非常巨大，但是在Leb.積分底下，可以視為同一件事。

這裡先介紹在機率論中很重要的兩個測度：Lebesgue measure與 counting measure 

在 $(\mathbb{R},\mathcal{B})$上的 Lebesgue measure 記為$m:\mathcal{B} \rightarrow [0,\infty)$ 定義成 $m((a,b])=b-a$，在一維空間上，Lebesgue measure就是算長度；在二維空間就是算面積；三維或更高的維度則是算體積。

Counting measure 叫做“計數測度“，顧名思義，這個測度就是在算 ”集合裡的元素個數“，在這裡把它記為$m_c$。舉個例子，如果 $(\Omega,\mathcal{A})$ 選作 $(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}})$ 對於所有 $n \in \mathbb{N}$ 定義 $\mu(\{n\})=1$ (也就是每一個單點集的測度都定為1)及 $\mu(\phi)=0$，這個 $\mu$ 就是在$(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}})$上的 Counting measure

重要的是 “對counting measure 的積分其實就是summation”  

舉個例子：令 $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R^+} s.t. f(n)=a_n \geq 0$ 搭配$(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}},m_c)$  

$\int fdm_c =\int \sum_{n=1}^\infty a_n I_{n} dm_c=\sum_{n=1}^\infty \int a_n I_{n} dm_c$$=\sum_{n=1}^\infty a_n m_c(\{n\})=\sum_{n=1}^\infty a_n$

在機率論中利用 Radon-Nikodyn 定理，得到我們算的機率$P_X$就是$P$對Lebesgue measure，或對 counting measure 的積分。(這裡只提到結論，省略了一些數學概念)    

如果 $P=\frac{dP_X}{dm}$ 是對 Lebesgue measure 的Radon-Nikodyn derivative，稱$X$為連續的隨機變數。  

如果$P=\frac{dP_X}{dm_c}$是對counting measure的Radon-Nikodyn derivative，稱$X$為離散的隨機變數。  

Radon-Nikodyn 定理說明了 "一定存在 $P$ 連結了兩個 $(\mathbb{R},\mathcal{B})$上的測度: $P_X$及 (1)Leb. measure 或 (2)counting measure"

他們的關係為 (1) $P_X((a,b])=F(b)-F(a)=\int_{(a,b]}Pdm$ or (2)  $\int_{(a,b]}Pd{m_c}$