📘 [機率]08- 事件的極限
想要定義事件列(sequence of events)的極限，我們先從比較簡單的狀況下手，先考慮那些具有單調性(monotone)的事件列。 - 如果事件列$(A_n) \in \mathcal{A}$ 是遞增的，也就是 $A_1 \subseteq A_2 \subseteq ...$，則可以定義 $A_n$ 的極限事件為 $A_n$ 的聯集: $lim_{n\rightarrow \infty}A_n:= \cup_{n=1}^{\infty}{A_n}$ [pic1] 看了示意圖應該會覺得這樣定義非常合情合理吧! 越來越大的 $A_n$ 就是把他們一個一個聯集起來(也會越來越大) 。 - 如果事件列 $(A_n) \in \mathcal{A}$ 反過來是遞減的，也就是 $A_1 \supseteq A_2 \supseteq ...$，則可以定義 $A_n$ 的極限事件為 $A_n$ 的交集: $lim_{n\rightarrow \infty}A_n:= \cap_{n=1}^{\infty}{A_n}$ [pic2] 那現在會很自然的好奇，如果 $(A_n)$ 沒有那麼好的性質應該要怎麼辦呢? 跟在討論數列的極限時類似，這裡也退而求其次，引進 $limsup$ 與 $liminf$ 的定義。 - $limsupA_n := \cap_{m=1}^{\infty} \cup_{n=m}^{\infty}{A_n}$ 值得注意的是後半部聯集的地方 $\cup_{n=m}^{\infty}{A_n}$ 其實是一個遞減的集合列，把 $\cup_{n=m}^{\infty}{A_n}$ 叫做 $B_m$ ，可以看到隨著 $m$ 越來越大，參與聯集的 $A_n$ 就會變少， $B_m$ 自然就會變小。 如此一來， $limsupA_n = \cap_{m=1}^{\infty} B_m=lim_{m \rightarrow \infty}B_m$ ，因為 $B_m$ 是遞減，就可以用最上方極限的定義。...
