📘 [機率]08- 事件的極限

 想要定義事件列(sequence of events)的極限，我們先從比較簡單的狀況下手，先考慮那些具有單調性(monotone)的事件列。  

- 如果事件列$(A_n) \in \mathcal{A}$ 是遞增的，也就是 $A_1 \subseteq A_2  \subseteq ...$，則可以定義 $A_n$ 的極限事件為 $A_n$ 的聯集:  $lim_{n\rightarrow \infty}A_n:= \cup_{n=1}^{\infty}{A_n}$  

[pic1]  

看了示意圖應該會覺得這樣定義非常合情合理吧!   越來越大的 $A_n$ 就是把他們一個一個聯集起來(也會越來越大) 。 

- 如果事件列 $(A_n) \in \mathcal{A}$ 反過來是遞減的，也就是 $A_1 \supseteq A_2  \supseteq ...$，則可以定義 $A_n$ 的極限事件為 $A_n$ 的交集:  $lim_{n\rightarrow \infty}A_n:= \cap_{n=1}^{\infty}{A_n}$  

[pic2]  

那現在會很自然的好奇，如果 $(A_n)$ 沒有那麼好的性質應該要怎麼辦呢?  

跟在討論數列的極限時類似，這裡也退而求其次，引進 $limsup$ 與 $liminf$ 的定義。

- $limsupA_n := \cap_{m=1}^{\infty} \cup_{n=m}^{\infty}{A_n}$  

值得注意的是後半部聯集的地方 $\cup_{n=m}^{\infty}{A_n}$ 其實是一個遞減的集合列，把 $\cup_{n=m}^{\infty}{A_n}$ 叫做 $B_m$ ，可以看到隨著 $m$ 越來越大，參與聯集的 $A_n$ 就會變少， $B_m$ 自然就會變小。

如此一來， $limsupA_n = \cap_{m=1}^{\infty} B_m=lim_{m \rightarrow \infty}B_m$ ，因為 $B_m$ 是遞減，就可以用最上方極限的定義。  

接下來再仔細的看看 $limsupA_n$ 定義中交集跟聯集的部分，如果 $\omega$ 要在 $limsupA_n$ 裡，就要在 $\cap_{m=1}^{\infty}B_m$ 裡，用交集的定義就要在所有的 $B_m$,$\forall m \geq 1$ 裡，那在 $B_m$ 裡又是甚麼意思呢?  

$\omega$ 要在 $B_m$ 裡，就是在 $\cup_{n=m}^{\infty}{A_n}$ 裡，也就是說只需要在其中一個 $A_n$，$n \geq m$ 裡。  

所以 $limsupA_n := \cap_{m=1}^{\infty} \cup_{n=m}^{\infty}{A_n}=\cap_{m=1}^{\infty}B_m$也可以寫成$=\{\omega \in \Omega:\forall m \geq 1, \exists \ some \ n(\omega) \geq m\ s.t.\ \omega \in A_n\}$    **註:這裡的$n$是$\omega$的函數，對於不同的$\omega$點，考慮同一個$m$，找到的$n$也不盡相同。 

也因為不管 $m$ 是多少，都能找到 $n$ 讓 $\omega$ 在 $A_n$ 裡，所以說 $\omega$ 會在 $A_n$ 裡無窮多次(因為有無窮多個 $m$)，英文寫做 $\omega \in A_n \ infinitely \  often$，簡寫為 $A_n \quad i.o.$。

- $liminfA_n := \cup_{m=1}^{\infty} \cap_{n=m}^{\infty}{A_n}$  

跟剛剛類似，後半部交集的地方 $\cap_{n=m}^{\infty}{A_n}$ 也可以令成 $C_m$ ，可以看到隨著 $m$ 越來越大，參與交集的 $A_n$ 就會變少，$C_m$ 自然就是遞增的。 如此一來，$liminfA_n = \cup_{m=1}^{\infty} C_m=lim_{m \rightarrow \infty}C_m$。

利用交集跟聯集的定義，$liminfA_n := \cup_{m=1}^{\infty} \cap_{n=m}^{\infty}{A_n}=\{\omega \in \Omega:for\ some \ m(\omega),\omega \in A_n \ \forall n \geq m\}$ ， $\omega$ 在 $liminfA_n$ 就是 $\omega$ 要在其中一個 $C_m$ 裡，在 $C_m$$(=\cap_{n=m}^{\infty}{A_n})$ 裡的意思就是要在所有 $n \geq m$ 的  $A_n$裡。  

也就是說，$\omega$ 最多只不在 足標 $m$ 以前的 $A_n$，足標 $m$ 以後，全部都要在裡面，英文的說法是 $\omega \in A_n \ for \ all \ but \ finitely \ many \ n$，簡寫為 $A_n \ eventually$。

統整一下:  

* $limsupA_n := \cap_{m=1}^{\infty} \cup_{n=m}^{\infty}{A_n} \\ =\{\omega \in \Omega:\forall m \geq 1, \exists \ some \ n \geq m\ s.t.\ \omega \in A_n\} \\ =\{A_n \quad i.o. \}$

* $liminfA_n := \cup_{m=1}^{\infty} \cap_{n=m}^{\infty}{A_n} \\ =\{\omega \in \Omega:for\ some \ m(\omega), \ \omega \in A_n \ \forall n \geq m\} \\ =\{A_n \ eventually\}$ 

如果當 $liminfA_n=limsupA_n$ ，我們就稱它為$limA_n$，如此一來就定義了那些不一定是單調的$A_n$的極限。