📘 [機率]08- 事件的極限

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  想要定義事件列(sequence of events)的極限，我們先從比較簡單的狀況下手，先考慮那些具有單調性(monotone)的事件列。   - 如果事件列$(A_n) \in \mathcal{A}$ 是遞增的，也就是 $A_1 \subseteq A_2  \subseteq ...$，則可以定義 $A_n$ 的極限事件為 $A_n$ 的聯集:  $lim_{n\rightarrow \infty}A_n:= \cup_{n=1}^{\infty}{A_n}$   [pic1]   看了示意圖應該會覺得這樣定義非常合情合理吧!   越來越大的 $A_n$ 就是把他們一個一個聯集起來(也會越來越大) 。  - 如果事件列 $(A_n) \in \mathcal{A}$ 反過來是遞減的，也就是 $A_1 \supseteq A_2  \supseteq ...$，則可以定義 $A_n$ 的極限事件為 $A_n$ 的交集:  $lim_{n\rightarrow \infty}A_n:= \cap_{n=1}^{\infty}{A_n}$   [pic2]   那現在會很自然的好奇，如果 $(A_n)$ 沒有那麼好的性質應該要怎麼辦呢?   跟在討論數列的極限時類似，這裡也退而求其次，引進 $limsup$ 與 $liminf$ 的定義。 - $limsupA_n := \cap_{m=1}^{\infty} \cup_{n=m}^{\infty}{A_n}$   值得注意的是後半部聯集的地方 $\cup_{n=m}^{\infty}{A_n}$ 其實是一個遞減的集合列，把 $\cup_{n=m}^{\infty}{A_n}$ 叫做 $B_m$ ，可以看到隨著 $m$ 越來越大，參與聯集的 $A_n$ 就會變少， $B_m$ 自然就會變小。 如此一來， $limsupA_n = \cap_{m=1}^{\infty} B_m=lim_{m \rightarrow \infty}B_m$ ，因為 $B_m$ 是遞減，就可以用最上方極限的定義。...
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📘[機率]06- 隨機變數

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因為通常考慮的樣本空間 $\Omega$ 可能不是收集"數字"的集合，並不好操作，所以我們需要引進 "隨機變數" (random variable)這個概念，把一些事情從 $\Omega$ 轉到熟悉的 $\mathbb{R}$上。


給定一個機率空間 $(\Omega,\mathcal{A},P)$，隨機變數 是一個函數 $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ 滿足 $\forall B \in \mathcal{B},\quad X^{-1}(B):=\{\omega \in \Omega:X(\omega) \in B\} \in \mathcal{A}$。  

直白地說，在 $\mathbb{R}$ 的事件，用 $X$ 的 preimage 拉回去，還需要是一個事件。在實變的語言裡 就是 "$X$ 是一個可測函數"。


*註:   $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ 則 $X$ 的preimage定義為 $X^{-1}:2^\mathbb{R} \rightarrow 2^\Omega \quad s.t. X^{-1}(B):=\{\omega \in \Omega:X(\omega) \in B\}$  #經由X作用後落在集合B  



之前說過 $P$ 的定義域是在 $\mathcal{A}$ ，所以對於每一個在$\mathcal{A}$ 裡的事件，都會訂出機率值，也就是我們可以訂出每一個 $X^{-1}(B) \in \mathcal{A}$ 的機率: $P(X^{-1}(B))$ ，簡寫為$P(X \in B)$。

則 $P(X^{-1}(B))=P(\{\omega\in \Omega : X(\omega) \in B\})=P(X \in B), \ \forall B \in \mathcal{B}$


現在我們透過 $X^{-1}$ 連結 $\mathcal{B}$ 與 $\mathcal{A}$，可以定義一個新的在 $\mathbb{R}$ 上的機率，$P_X:\mathcal{B} \rightarrow [0,1]$ 滿足 $P_X(B)=P(X^{-1}(B)),\ \forall B \in \mathcal{B}$ ，因為 $X^{-1}$ 也是一個函數，$P_X$ 也可以看成 $P_X=P \circ X^{-1}$。  

由此可知 $P_X$ 是由 $P$ 跟 $X$ 共同決定的，所以把 $P_X$ 稱為 the probability measure on $(\mathbb{R},\mathcal{B})$ induced by $X$ form $P$ on $(\Omega,\mathcal{A})$.


接下來要實際的定義出 $P_X$ 的值，但是我們知道 $\mathcal{B}$ 裡的 Borel set 非常多，所以需要藉由extension theorem跟generate的概念 "只需要對所有$[-\infty,x)$ 訂出機率，就唯一決定所有 Borel set 的機率"。

所以說 $F(x):=P_X([-\infty,x))$ ，訂出所有$F$的值，就能得到所有$P_X$的值，那我們可以想作$F$是$P_X$的源頭。



最後舉一個簡單例子: 考慮隨機試驗，丟一個銅板兩次  


$\Omega= \{(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)\}$  

$\mathcal{A}=2^\Omega$ (power set)  

- $P(\{(H,H)\})=P(\{(H,T)\})=P(\{(T,H)\})=P(\{(T,T)\})=\frac{1}{4}$  

令隨機變數$X$為"H出現的次數"，則  

- $P_X(0)=P(X^{-1}(0))=P(\{\omega:X(\omega)=0\})=P(X=0)=P(\{(T,T)\})=\frac{1}{4}$ 

- $P_X(1)=P(X^{-1}(1))=P(\{\omega:X(\omega)=1\})=P(X=1)=P(\{(H,T),(T,H)\})=P(\{(H,T)\}\cup\{(T,H)\})=P(\{(H,T)\})+P(\{(T,H)\})=\frac{1}{2}$  

- $P_X(2)=P(X^{-1}(2))=P(\{\omega:X(\omega)=2\})=P(X=2)=P(\{(H,H)\})=\frac{1}{4}$  

通常，在$(\Omega,\mathcal{A})$上的$P$是均勻的，經由$X$作用到了$(\mathbb{R},\mathcal{B})$的$P_X$會是不均勻的。


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