📘 [機率]08- 事件的極限

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  想要定義事件列(sequence of events)的極限，我們先從比較簡單的狀況下手，先考慮那些具有單調性(monotone)的事件列。   - 如果事件列$(A_n) \in \mathcal{A}$ 是遞增的，也就是 $A_1 \subseteq A_2  \subseteq ...$，則可以定義 $A_n$ 的極限事件為 $A_n$ 的聯集:  $lim_{n\rightarrow \infty}A_n:= \cup_{n=1}^{\infty}{A_n}$   [pic1]   看了示意圖應該會覺得這樣定義非常合情合理吧!   越來越大的 $A_n$ 就是把他們一個一個聯集起來(也會越來越大) 。  - 如果事件列 $(A_n) \in \mathcal{A}$ 反過來是遞減的，也就是 $A_1 \supseteq A_2  \supseteq ...$，則可以定義 $A_n$ 的極限事件為 $A_n$ 的交集:  $lim_{n\rightarrow \infty}A_n:= \cap_{n=1}^{\infty}{A_n}$   [pic2]   那現在會很自然的好奇，如果 $(A_n)$ 沒有那麼好的性質應該要怎麼辦呢?   跟在討論數列的極限時類似，這裡也退而求其次，引進 $limsup$ 與 $liminf$ 的定義。 - $limsupA_n := \cap_{m=1}^{\infty} \cup_{n=m}^{\infty}{A_n}$   值得注意的是後半部聯集的地方 $\cup_{n=m}^{\infty}{A_n}$ 其實是一個遞減的集合列，把 $\cup_{n=m}^{\infty}{A_n}$ 叫做 $B_m$ ，可以看到隨著 $m$ 越來越大，參與聯集的 $A_n$ 就會變少， $B_m$ 自然就會變小。 如此一來， $limsupA_n = \cap_{m=1}^{\infty} B_m=lim_{m \rightarrow \infty}B_m$ ，因為 $B_m$ 是遞減，就可以用最上方極限的定義。...
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📘[機率]02- sigma-algebra

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上次簡單說明了一個隨機試驗$(\Omega,\mathcal{A},P)$是一個機率空間，這次來說明一些關於$\sigma-algebra$的想法。

通常討論的 $\Omega$ 是一個集合，可能是 $\mathbb{R}$、$\mathbb{R^n}$ 、賦距空間(metric space)，或是上次說的樣本空間，甚至是沒有任何數學結構的集合，所以對於 $\Omega$ 能討論的事情就不太多，基本上我們討論$\Omega$的子集。  


收集 $\Omega$ 所有子集的集合(collection of subsets)，稱為$\Omega$的冪集合(power set)，記做 $2^\Omega$。

如果 $\Omega$ 有k個元素 $n(\Omega)=k$，那他的冪集合就有 $2^k$ 個元素 $n(2^\Omega)=2^k$ (對於每個 $\Omega$ 的元素考慮"選與不選"進子集裡)。  

有時候當 $\Omega$ 很大的時候，$2^\Omega$會變得非常非常大，以至於無法討論一些事(無法定義測度)，所以我們要去限制$2^\Omega$ ，討論較小的collection。

也就是上次提到的 $\sigma-algebra$ $\mathcal{A}$。 滿足  

(i) $\phi \in \mathcal{A}$   

(ii) $A \in \mathcal{A}$，則$A^c \in \mathcal{A}$    

(iii) $\{A_n\},n=1,2,... \in \mathcal{A}$，則$\cup^\infty_{n=1}A_n \in \mathcal{A}$    

 

 *註: (ii)跟(iii)可以推得 $\sigma-algebra$ 在"可數"多次的集合操作(交集、聯集、差集......)後，都是封閉的。封閉的意思是，經過操作之後的東西，依然在這個 $\sigma-algebra$ 裡。



具體來說，如果$A$是$\Omega$的子集 $A \subset \Omega$，那$\mathcal{A_1}=\{\phi,A,A^c,\Omega\}$是一個$\sigma-algebra$，最簡單的$\sigma-algebra$有兩個: 對於任何的 $\Omega$ ，冪集合 $2^\Omega$ 都是 $\sigma-algebra$ ，而且它是最大的；還有$\mathcal{A_2}=\{\phi,\Omega\}$ 是最小的 $\sigma-algebra$。


現在我們來提"生成"(generate)的這個概念，一個$\sigma-algebra$可以用一個更小的collection of set，我們叫它$\mathcal{C}$，生成出來，記做 $\sigma(\mathcal{C})$。也就是用$\mathcal{C}$ 裡元素$C \in \mathcal{C}$ 做可數多次的集合操作，就能得到 $\sigma(\mathcal{C})$。 $\mathcal{C}$就類似於線性代數裡"基底"的概念，只要掌握"基底"的特性，就可以較容易的掌握整個$\sigma-algebra$的性質。  

$\sigma(\mathcal{C})$的正式定義為: 所有包含$\mathcal{C}$的$\sigma-algebra$他們的交集，也就是"包含$\mathcal{C}$的最小$\sigma-algebra$"。


在下一篇文章中，再用生成的觀念具體舉一個常見的例子-- $Borel$ $\sigma-algebra$








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