📘 [機率]08- 事件的極限

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  想要定義事件列(sequence of events)的極限，我們先從比較簡單的狀況下手，先考慮那些具有單調性(monotone)的事件列。   - 如果事件列$(A_n) \in \mathcal{A}$ 是遞增的，也就是 $A_1 \subseteq A_2  \subseteq ...$，則可以定義 $A_n$ 的極限事件為 $A_n$ 的聯集:  $lim_{n\rightarrow \infty}A_n:= \cup_{n=1}^{\infty}{A_n}$   [pic1]   看了示意圖應該會覺得這樣定義非常合情合理吧!   越來越大的 $A_n$ 就是把他們一個一個聯集起來(也會越來越大) 。  - 如果事件列 $(A_n) \in \mathcal{A}$ 反過來是遞減的，也就是 $A_1 \supseteq A_2  \supseteq ...$，則可以定義 $A_n$ 的極限事件為 $A_n$ 的交集:  $lim_{n\rightarrow \infty}A_n:= \cap_{n=1}^{\infty}{A_n}$   [pic2]   那現在會很自然的好奇，如果 $(A_n)$ 沒有那麼好的性質應該要怎麼辦呢?   跟在討論數列的極限時類似，這裡也退而求其次，引進 $limsup$ 與 $liminf$ 的定義。 - $limsupA_n := \cap_{m=1}^{\infty} \cup_{n=m}^{\infty}{A_n}$   值得注意的是後半部聯集的地方 $\cup_{n=m}^{\infty}{A_n}$ 其實是一個遞減的集合列，把 $\cup_{n=m}^{\infty}{A_n}$ 叫做 $B_m$ ，可以看到隨著 $m$ 越來越大，參與聯集的 $A_n$ 就會變少， $B_m$ 自然就會變小。 如此一來， $limsupA_n = \cap_{m=1}^{\infty} B_m=lim_{m \rightarrow \infty}B_m$ ，因為 $B_m$ 是遞減，就可以用最上方極限的定義。...
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📘[機率]01- 隨機試驗

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隨機試驗是指一個無法事先預測結果的試驗，但只要重複進行同一個試驗，就能找出他平均的行為。    

在機率論的說法是 $(\Omega,\mathcal{A},P)$ 為一個機率空間。 


1. 樣本空間 $\Omega$(sample space) :    收集所有試驗可能結果的集合，試驗可能結果也叫做樣本點(sample)。 


2. 事件空間 $\mathcal{A}$(event space) :    收集的事件的集合，事件(event)是收集那些滿足有興趣的條件的樣本點，也就是樣本空間的子集。  

*注意事件空間是collection of sets  

並不是隨便一個collection都能當作事件空間，他必須是一個$\sigma-algebra$，滿足下列條件  


(i) 空集合 $\phi \in \mathcal{A}$  

(ii) 如果一個事件$A \in \mathcal{A}$，則他的補集$A^c \in \mathcal{A}$也是一個事件    

(iii) $\{A_n\},n=1,2,... \in \mathcal{A}$為一個事件序列，則他的可數聯集$\cup^\infty_{n=1}A_n \in \mathcal{A}$也是一個事件  


3. 機率測度 $P$(probability) :   

定義每一個事件可能的發生機率，為一個從事件空間映射到 $[0,1]$ 的函數 $P:\mathcal{A} \rightarrow [0,1]$ 



舉例來說:  

隨機試驗是-丟一個公正的銅板兩次，樣本空間就是$\Omega= \{(H,H),(H,T),(T,H),(T,T)\}$，如果現在對 "丟到一次以上反面(T)的樣本點" 有興趣，事件$A=\{(H,T),(T,H),(T,T)\}$，事件空間在此取 $\Omega$ 的冪集合(power set) $2^\Omega$。  

每一個樣本點發生的機率為均等的$P(\{(H,H)\})=P(\{(H,T)\})=P(\{(T,H)\})=P(\{(T,T)\})=\frac{1}{4}$，則 "丟到一次以上反面" 的機率 $P(A)=\frac{3}{4}$。


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🎨[陶藝]02-內點

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延續上次的文章，這個也是我期末的系列之一 - interior point(內點）  如果說一個點是這個集合的內點，那以內點為圓心一定要存在一個半徑，形成一個圓，讓整個圓都在集合裡面。 反過來想，在紙上畫一個圓當做集合，圓邊上的點就不是一個內點，因為不管你的半徑取得多小，都會讓一部分的圈落在大圓的外面。 中間的黑球是極限點，黃色的部分是“整個落在集合裡的圓”，這裡是不是用土條圍成半徑，取而代之我是挖一個類似半球的凹槽，感覺更有在“集合裡”的意象。 還有白色圓盤的邊緣特別做了削薄，因為跟內點連結的概念是“開集合”（如果集合裡的點全部都是內點，它就是開集合），所以說開集合一定沒有邊界點，把邊緣削薄就是想體現它沒有邊界的事實。
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📘 [機率]08- 事件的極限

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  想要定義事件列(sequence of events)的極限，我們先從比較簡單的狀況下手，先考慮那些具有單調性(monotone)的事件列。   - 如果事件列$(A_n) \in \mathcal{A}$ 是遞增的，也就是 $A_1 \subseteq A_2  \subseteq ...$，則可以定義 $A_n$ 的極限事件為 $A_n$ 的聯集:  $lim_{n\rightarrow \infty}A_n:= \cup_{n=1}^{\infty}{A_n}$   [pic1]   看了示意圖應該會覺得這樣定義非常合情合理吧!   越來越大的 $A_n$ 就是把他們一個一個聯集起來(也會越來越大) 。  - 如果事件列 $(A_n) \in \mathcal{A}$ 反過來是遞減的，也就是 $A_1 \supseteq A_2  \supseteq ...$，則可以定義 $A_n$ 的極限事件為 $A_n$ 的交集:  $lim_{n\rightarrow \infty}A_n:= \cap_{n=1}^{\infty}{A_n}$   [pic2]   那現在會很自然的好奇，如果 $(A_n)$ 沒有那麼好的性質應該要怎麼辦呢?   跟在討論數列的極限時類似，這裡也退而求其次，引進 $limsup$ 與 $liminf$ 的定義。 - $limsupA_n := \cap_{m=1}^{\infty} \cup_{n=m}^{\infty}{A_n}$   值得注意的是後半部聯集的地方 $\cup_{n=m}^{\infty}{A_n}$ 其實是一個遞減的集合列，把 $\cup_{n=m}^{\infty}{A_n}$ 叫做 $B_m$ ，可以看到隨著 $m$ 越來越大，參與聯集的 $A_n$ 就會變少， $B_m$ 自然就會變小。 如此一來， $limsupA_n = \cap_{m=1}^{\infty} B_m=lim_{m \rightarrow \infty}B_m$ ，因為 $B_m$ 是遞減，就可以用最上方極限的定義。...
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📘[機率]07- Lebesgue measure與 counting measure

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以前，當$X$是連續隨機變數的時候，$P$稱為$X$的機率密度函數(pdf); 當$X$是離散隨機變數的時候，$P$稱為$X$的機率質量函數(pmf)。考慮累積密度函數的話，連續時是積分；離散時是summation，乍看之下連續型隨機變數跟離散型的差別非常巨大，但是在Leb.積分底下，可以視為同一件事。 這裡先介紹在機率論中很重要的兩個測度：Lebesgue measure與 counting measure  在 $(\mathbb{R},\mathcal{B})$上的 Lebesgue measure 記為$m:\mathcal{B} \rightarrow [0,\infty)$ 定義成 $m((a,b])=b-a$，在一維空間上，Lebesgue measure就是算長度；在二維空間就是算面積；三維或更高的維度則是算體積。 Counting measure 叫做“計數測度“，顧名思義，這個測度就是在算 ”集合裡的元素個數“，在這裡把它記為$m_c$。舉個例子，如果 $(\Omega,\mathcal{A})$ 選作 $(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}})$ 對於所有 $n \in \mathbb{N}$ 定義 $\mu(\{n\})=1$ (也就是每一個單點集的測度都定為1)及 $\mu(\phi)=0$，這個 $\mu$ 就是在$(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}})$上的 Counting measure 重要的是 “對counting measure 的積分其實就是summation”   舉個例子：令 $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R^+} s.t. f(n)=a_n \geq 0$ 搭配$(\mathbb{N},2^{\mathbb{N}},m_c)$   $\int fdm_c =\int \sum_{n=1}^\infty a_n I_{n} dm_c=\sum_{n=1}^\infty \int a_n I_{n} dm_c$$=\sum_{n=1}^\infty a_n m_c(\{n\})=\sum_{n=1}^\infty a_n$ 在機率論中利用 Radon-Nikodyn 定理，得到我們算的機率$P_X$就是$P$...
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